Optimierungsaufgaben (auch genannt Extremwertaufgaben oder Extremalprobleme) sind ein Anwendungsgebiet der Differenzialrechnung. Nützlich ist das Prinzip überall da, wo man bestimmte Werte möglichst klein oder groß haben möchte:
- Gewinn
- Materialverbrauch
- Volumina oder Flächen
- Kosten
- benötigte Zeiten
- Wahrscheinlichkeiten
- …
Hier findest du verschiedene Beispiele, an Hand derer du diesen Aufgabentyp üben kannst.
Rechne die Aufgaben Schritt für Schritt selbst. Wenn du nicht weiterkommst, kannst du jeweils ein Hilfekärtchen umdrehen. Auf der Vorderseite findest du eine Frage, die dir helfen soll, den richtigen Rechenweg selbst zu finden, auf der Rückseite dann jeweils die Auflösung dieser Frage bzw. den nächsten Rechenschritt.
Der habgierige Gärtner
Ein Gärtner soll jeweils ein Beet mit Tulpen und mit Rosen anlegen. Das Tulpenbeet soll kreisförmig sein, das Rosenbeet quadratisch. Zur Umsetzung hat er 16\,m Umrandungssteine von seinem Auftraggeber zur Verfügung gestellt bekommen.
Als gewiefter Geschäftsmann möchte der Gärtner möglichst kleine Beete anlegen – denn die Blumen, die er dort pflanzen muss, kosten Geld und das schmälert seinen Gewinn!
- Lege eine Skizze an, die die Beete veranschaulicht.
- Welchen Radius r und welche Seitenlänge s müssen der Kreis bzw. das Quadrat bekommen, damit die Gesamtfläche möglichst klein wird?
- Ein Quadratmeter Rosen kostet doppelt so viel wie die gleiche Fläche Tulpen. Welche Maße sollte der Gärtner unter diesen Bedingungen nehmen, wenn die Kosten für die zu pflanzenden Blumen möglichst klein werden soll?
Die optimale Konservendose
Bei Lebensmitteln haben die Verpackungskosten einen großen Anteil am Artikelpreis. Hersteller bemühen sich daher, nicht nur das Aussehen, sondern auch den Materialverbrauch der Verpackung zu optimieren.
- Bestimme den Materialverbrauch einer beliebigen Dose ohne Berücksichtigung der Falze in Abhängigkeit von Radius und Höhe.
- Optimiere den Materialverbrauch unter der Bedingung, dass die Dose eine Volumen von 400\,ml besitzen soll.
- Welche Gründe könnte es für einen Hersteller geben, vom Optimum abzuweichen?
- Bestimme die Grenzen, innerhalb derer die Maße der Dose liegen dürfen, sodass der Materialverbrauch nicht mehr als 2% über dem Optimum liegt.
Sonntags frische Croissants
Ein Lebensmittelhersteller vertreibt Croissants zum Fertigbacken für Zuhause.
Der Teig wird fertig vorportioniert in einer 500\,ml fassenden zylindrischen Verpackung aus Metall und Pappe bereitgestellt. Der Metalldeckel ist pro Quadratzentimeter viermal so teuer wie die Pappe.
Welche Maße muss die Verpackung haben, wenn die Materialkosten minimal werden sollen?
Das Gewächshaus
Ein Gärtner plant ein neues Gewächshaus für exotische Pflanzen. Da es verschiedene Arten beheimaten soll, möchte er es in sechs Innenräume unterteilen, die getrennt klimatisiert werden können.
Ein Meter Außenwand kostet 800 €, ein Meter Innenwand dagegen nur 200 €. Der Gärtner hat 160 000 € für die Wände zur Verfügung.
Wie lang und breit sollte das Gewächshaus werden, damit dessen Gesamtfläche maximal wird?
